中线是三角形的三条中线，分别连接三角形三个角的中点和对边中点，交于一个点，称为重心。下面将介绍三条中线交点的三个性质。

性质一：重心到三角形三个顶点的距离相等

首先，我们可以证明重心到三角形任意一边中点的距离相等。因为中线是由两个顶点的中点组成的，所以重心到中线上任意一点的距离都等于到另外一个中点的距离。因此，重心到三角形任意一条中线上的点的距离相等。

接着，我们证明重心到三角形任意一个顶点的距离相等。假设重心为点G，三角形的三个顶点分别为A、B、C，三条中线分别为AD、BE、CF，交点为G。我们可以通过重心的定义来证明：重心是三条中线交点，即重心到任意一条中线上的点的距离等于到另外两条中线上的点的距离之和。因此，重心到中线AD上任意一点的距离等于到中线BE上任意一点的距离再加上到中线CF上任意一点的距离。而中线AD的中点为点M，我们有：

GM = AM + MD

同理，我们有：

GB = BM + ME

GC = CM + MF

将上述三个式子相加，得：

GM + GB + GC = AM + BM + CM + MD + ME + MF

因为MD = ME、ME = MF、MF = MD，所以上式化简为：

GM + GB + GC = AM + BM + CM

即重心到三个顶点的距离相等。

性质二：重心将中线按1：2分成两段

我们可以将中线AD、BE、CF分别延长至其它端点，得到三个交点E、F、D。根据中线的定义，AD = 2DM、BE = 2EM、CF = 2FM，因此AE = AF = BD = BF = CD = CE = 3DM = 3EM = 3FM。又因为重心是三条中线的交点，所以重心到点D、E、F的距离分别为3/4、3/4和3/4。因此，重心将中线按1：2分成两段。

性质三：重心与顶点连线的中点构成的三角形面积是原三角形面积的3/4

设重心为点G，三角形的三个顶点分别为A、B、C。连接重心G与三个顶点A、B、C，得到三条线段AG、BG、CG。则三角形ABC被线段AG、BG、CG分成三个小三角形。由于重心将中线按1：2分成两段，所以AG = 2GD、BG = 2GE、CG = 2GF。因此，三角形ABC的面积可以表示为：

S = 1/2 * AG * BC + 1/2 * BG * AC + 1/2 * CG * AB

将AG、BG、CG代入上式，得：

S = 1/2 * 2GD * BC + 1/2 * 2GE * AC + 1/2 * 2GF * AB

S = 1/2 * GD * BC + 1/2 * GE * AC + 1/2 * GF * AB

S = 1/2 * (GD * BC + GE * AC + GF * AB)

又因为重心将中线分成1：2的比例，所以BD = CD = BC/2、AE = CE = AC/2、AF = BF = AB/2。因此，GD = 2DM、GE = 2EM、GF = 2FM。将DM、EM、FM代入上式，得：

S = 1/2 * (2DM * BC + 2EM * AC + 2FM * AB)

S = 1/2 * 2(DM * BC + EM * AC + FM * AB)

S = DM * BC + EM * AC + FM * AB

又因为DM = S/2BC、EM = S/2AC、FM = S/2AB，所以上式化简为：

S = S/2BC * BC + S/2AC * AC + S/2AB * AB

S = S/2 * (BC + AC + AB)

S = 3/4 * S

因此，重心与三个顶点连线的中点构成的三角形面积是原三角形面积的3/4。