矩阵的转置乘以矩阵本身有交换律嘛
来源 :华课网校 2024-09-20 10:56:14
中矩阵是线性代数中的重要概念之一,它是由若干行和列组成的矩形阵列。在矩阵的运算中,有一个很重要的性质就是转置乘以矩阵本身的运算,即A^T*A。很多人会问,这个运算是否满足交换律呢?
首先,我们来看一下转置的定义。矩阵A的转置,记作A^T,是将A的行和列互换得到的新矩阵。例如,对于矩阵A = [1 2 3; 4 5 6],它的转置矩阵为A^T = [1 4; 2 5; 3 6]。
接下来,我们来证明转置乘以矩阵本身是满足交换律的。假设有两个矩阵A和B,它们的乘积为A*B。那么,它们的转置乘积为(A*B)^T = B^T*A^T。
现在,我们来看一下转置乘以矩阵本身的运算,即A^T*A。根据矩阵乘法的定义,我们可以得到A^T*A的元素为:
(A^T*A)ij = Σk (A^T)ik * Akj
其中,Σk表示对k求和,i和j表示矩阵A^T*A的行和列。根据矩阵转置的定义,我们可以得到(A^T)ik = Ai^k,即A^T的第i行第k列元素等于A的第k行第i列元素。因此,上式可以进一步化简为:
(A^T*A)ij = Σk Ai^k * Akj
现在,我们来证明A^T*A和A*A^T是相等的。根据矩阵乘法的定义,我们可以得到A*A^T的元素为:
(A*A^T)ij = Σk Aik * Akj
将A^T的定义代入上式,可得:
(A*A^T)ij = Σk Aik * A^jk
根据矩阵乘法的交换律,我们可以将A^jk调换为Aj^k,即:
(A*A^T)ij = Σk Aik * Ajk
这与A^T*A的元素表示式完全相同,因此A^T*A和A*A^T是相等的。
综上所述,转置乘以矩阵本身是满足交换律的。对于线性代数中的矩阵运算,这是一个重要的性质,可以方便我们进行矩阵计算。
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