角平分线定理的证明方法
来源 :华课网校 2024-08-27 14:12:58
中角平分线定理是初中数学中的重要定理之一,它有着广泛的应用。它的意思是,如果一条直线平分一个角,那么这条直线将这个角分成两个相等的角。
下面,我们来证明这个定理。
设有一个角BAC,它的角平分线为AD。我们需要证明∠BAD = ∠CAD。
首先,我们可以通过画图来帮助我们理解问题。我们可以在角BAC上取一点E,使得∠BAE = ∠CAD,如下图所示:
![角平分线定理证明图](https://i.imgur.com/8vV7OjK.png)
接着,我们需要证明BE = CE。
我们可以通过三角形的相似性来证明。如下图所示,我们可以分别连接AB、AC和BD、CD,并在BD和CD上分别取一点F和G,使得BF = BG,CG = GD。然后,我们可以通过三角形的相似性来得出BE = CE。
![角平分线定理证明图2](https://i.imgur.com/St4a7wV.png)
具体来说,我们可以得出以下两个相似的三角形:
- △ABD ∽ △ACD,因为它们有一个角相等(即∠BAD = ∠CAD),且它们的另外两个角也分别相等(因为BD与CD都是角BAC的平分线,所以∠ABD = ∠CBD,∠ACD = ∠CBD)。
- △BFD ∽ △CGD,因为它们有两个角相等(即∠BFD = ∠CGD,∠BDF = ∠CDG),且它们的另外一个角也分别相等(因为BF = BG,CG = GD)。
根据三角形的相似性,我们可以得出:
- BD/CD = AD/AD = 1,因此BD = CD。
- BF/CG = BD/CD,因此BF = CG。
因此,我们得出了BE = BF + EF = CG + EG = CE。
因此,我们证明了角平分线定理。
总结一下,角平分线定理的证明方法是,通过画图辅助理解问题,然后通过三角形的相似性来得出BE = CE。
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