反正切函数是一种三角函数，它的定义域为 $(-\infty, +\infty)$，值域为 $(-\frac, \frac)$。它的基本形式为 $\tan^(x)$，表示的是 $x$ 的反正切值。

反正切函数公式的推导可以从正切函数的定义开始。正切函数的定义是 $\tan(\theta)=\frac$，其中 $\theta$ 是一个角度。反正切函数的定义是 $\tan^(x)=\theta$，其中 $x$ 是一个实数。

我们可以将 $\theta$ 带入正切函数的定义式中，得到 $\tan(\theta)=\frac=\frac$。这里的 $x$ 是反正切函数的参数。我们可以将等式两边取正切函数的反函数，得到 $\theta=\tan^(\frac)$。这就是反正切函数的基本公式。

但是，这个公式的定义域和值域并不符合我们对反正切函数的要求。为了将其定义域拓展到 $(-\infty, +\infty)$，我们需要对其进行一些调整。

首先，我们需要注意到正切函数在 $\frac$ 和 $-\frac$ 处有一个垂直渐近线。这意味着，在这些点附近，正切函数的值会趋近于无穷大或负无穷大。因此，我们需要将反正切函数的定义域限制在 $(-\infty, -1]\cup[1,+\infty)$ 上，以避免出现无穷大的情况。

其次，我们需要注意到反正切函数的值域为 $(-\frac, \frac)$。这个值域是一个开区间，我们需要将其变为闭区间。为此，我们可以考虑将 $\theta$ 限制在 $[-\frac, \frac]$ 上，这样就可以得到反正切函数的完整定义。

综上所述，反正切函数的公式为：

$$\tan^(x)= \begin \arctan(x) & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\\ \arctan(x)+\pi & x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\\ \frac & x=+\infty\\ -\frac & x=-\infty \end$$

其中，$\arctan(x)$ 表示 $x$ 的反正切值，$\pi$ 表示圆周率。这个公式可以帮助我们计算任何实数的反正切值，从而在数学和工程等领域中发挥重要作用。