导数加法法则证明
来源 :华课网校 2024-06-21 14:40:31
中导数加法法则是微积分中的一项重要定理,其表述为:若函数f(x)和g(x)都在x点可导,则它们的和f(x) + g(x)在x点也可导,且导数等于f(x)的导数加上g(x)的导数,即:
$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
现在,我们将证明这个定理。
首先,根据导数的定义,f(x)在x点的导数为:
$f'(x) = \lim\limits_\frac$
同样地,g(x)在x点的导数为:
$g'(x) = \lim\limits_\frac$
接下来,我们考虑(f(x) + g(x))在x点的导数。根据导数的定义,它可以表示为:
$(f(x) + g(x))' = \lim\limits_\frac$
将分子拆开,得到:
$(f(x) + g(x))' = \lim\limits_\frac + \lim\limits_\frac$
由于f(x)和g(x)在x点都可导,因此上式中的两个极限都存在,分别等于f'(x)和g'(x),即:
$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
综上所述,我们证明了导数加法法则。这个定理的意义在于,它允许我们通过对每一项分别求导来求解更复杂的函数的导数,为微积分的应用提供了重要的工具。
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