行列式是线性代数中的一个重要概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用。在计算行列式时，需要判断它的符号。下面介绍几种判断行列式符号的方法。

1. 定义法

对于n阶行列式A，如果它的某个行（列）与另一行（列）交换位置后，行列式的值变号，则称A的行列式符号为负；否则为正。具体表述为：

$$\begin

a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\

a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_

\end}$$

如果将第i行与第j行交换，则行列式的值变为$-A$。同理，如果将第i列与第j列交换，则行列式的值也会变为$-A$。

2. 公式法

行列式的符号可以通过计算它的奇偶排列来确定。对于n阶行列式A，将它的元素按照行标和列标的大小顺序排列，得到一个新的序列$(a_,a_,\cdots,a_)$。如果这个序列的逆序数为奇数，则行列式的符号为负；否则为正。其中，逆序数是指序列中后面的数比前面的数小的对数。

例如，对于下面的3阶行列式：

$$\begin

2 & -1 & 3 \\

1 & 0 & 2 \\

3 & 2 & 1

\end$$

按照元素的大小顺序排列，得到序列$(2,1,3,-1,0,2,3,2,1)$。这个序列的逆序数为7，因此行列式的符号为负。

3. 行变换法

对于n阶行列式A，可以通过一系列行变换将它化为上三角形矩阵，此时行列式的值等于对角线上的元素的乘积。如果进行了奇数次行变换，则行列式的符号为负；否则为正。

例如，对于下面的3阶行列式：

$$\begin

2 & -1 & 3 \\

1 & 0 & 2 \\

3 & 2 & 1

\end$$

进行一次行变换，将第1行加上第2行，得到：

$$\begin

2 & -1 & 3 \\

3 & -1 & 5 \\

3 & 2 & 1

\end$$

再进行一次行变换，将第3行减去第2行，得到：

$$\begin

2 & -1 & 3 \\

3 & -1 & 5 \\

0 & 3 & -4

\end$$

此时行列式已经化为上三角形矩阵，行列式的值等于对角线上的元素的乘积$(-4)\times(-1)\times2=8$。因为进行了偶数次行变换，所以行列式的符号为正。

综上所述，以上三种方法都可以用来判断行列式的符号。在实际计算中，可以根据具体情况选择最方便的方法。