梯形是一种四边形，其中两边是平行的，而另外两边则不平行。梯形的中位线定理是指，一条梯形的中位线，也就是连接梯形两个对角线中点的线段，与梯形的平行边的长度平均值相等。下面，我们来证明这个定理。

设梯形ABCD的上底为AB，下底为CD，左斜边为AD，右斜边为BC。连接AC和BD两条对角线，交于点O。连接AB和CD两条平行边的中点E和F，连接OF和AE，交于点G。

首先，我们可以证明OG与EF平行。因为OE=EF/2，OF=EF/2，所以OE=OF。又因为AO=OC，所以AE//CF。因此，根据平行线之间的性质，有OG//EF。

接下来，我们需要证明OG的长度等于AB和CD的长度之和的一半。我们可以通过相似三角形来证明这个结论。因为AO=OC，所以三角形AOG和COG是全等的。同样的，因为BO=OD，所以三角形BOG和DOG是全等的。因此，我们可以得到：

AG/CG=AO/CO=1

BG/DG=BO/DO=1

因此，AG=CG，BG=DG。由此可知，AG+BG=CG+DG=CD。又因为OG是中位线，所以OG=1/2(AC)=1/2(AB+CD)。

综上所述，我们证明了梯形的中位线定理，即梯形的中位线与平行边的长度平均值相等。