一元三次方程是数学中的一类重要的方程，在实际应用中也经常出现。它的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0（其中a≠0），它的解可以通过求解它的三个根来得到。

根据高中数学中的代数基本定理，任何一个次数为n的单项式方程都有恰好n个根。因此，一元三次方程也有三个根，它们可以是实数、虚数或复数。在实数范围内，这三个根可以分为三种情况：三个实数根、一实根和一对共轭复根、三个不同的实数根。

对于一元三次方程的根，有许多有趣的性质。例如，它们之间存在一些关系，这些关系可以帮助我们更好地理解这些根的性质。其中一个比较重要的关系是Vieta定理，它是由法国数学家弗雅塔（François Viète）在16世纪提出的。

Vieta定理指出，对于一元三次方程ax³ + bx² + cx + d = 0，它的三个根x1、x2、x3之间有如下关系：

x1 + x2 + x3 = -b/a

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a

x1x2x3 = -d/a

其中，b、c、d分别是该方程的二次项系数、一次项系数和常数项系数。

Vieta定理的证明使用了代数基本定理和配方法，比较复杂。但是，我们可以通过实际例子来理解这个定理。例如，对于方程x³ - 6x² + 11x - 6 = 0，它的三个根分别为1、2和3。根据Vieta定理，我们可以得到：

1 + 2 + 3 = -(-6/1) = 6

1×2 + 1×3 + 2×3 = 11/1

1×2×3 = 6/1

这些关系可以帮助我们更好地理解一元三次方程的根之间的关系，以及如何通过已知的一些根来求解未知根。同时，它们也为我们解决实际问题提供了一些思路和方法。