垂径定理是数学中的一条基本定理，它描述了圆内的直径与垂直于该直径所经过的任意一条弦的乘积相等。据此，我们可以推导出10个有趣的几何推论。

1. 以圆心为顶点，圆上两点为底的角相等。

这个推论可以通过垂径定理很容易地证明。因为以圆心为顶点的角所对的弧都是直径，垂直于直径的弦的乘积相等，所以这些角也必定相等。

2. 以圆心为顶点的角等于所对弧的一半。

这个推论也可以通过垂径定理证明。因为以圆心为顶点的角所对的弧都是直径，垂直于直径的弦的乘积相等，所以这些角也等于所对弧的一半。

3. 圆上任意两点之间的弦长相等当且仅当这两条弦垂直于同一直径。

这个推论的证明也可以通过垂径定理。如果两条弦垂直于同一直径，那么它们所对的弧的长度一定相等，因此这两条弦的长度也必定相等。

4. 从圆上任意一点引出的两条切线垂直于圆心连线。

这个推论可以通过垂径定理和切线的定义来证明。因为切线是与圆相切的直线，所以它垂直于圆心连线。同时，我们可以证明切线所对应的弧与圆心连线所对应的弧相等，因此切线垂直于圆心连线。

5. 圆内切角相等。

这个推论也可以通过垂径定理和切线的定义来证明。因为切线垂直于圆心连线，所以以切点为顶点的角等于所对应的弧所对应的圆心角的一半。因此，圆内切角相等。

6. 相交弦的积等于相交点到圆心连线的积。

这个推论可以通过垂径定理证明。因为相交弦所对应的两个弧的和等于360度，所以其中一个弧的度数就是另一个弧的度数的补角。因此，我们可以通过垂径定理得出相交点到圆心连线的积等于相交弦的积。

7. 以圆心为顶点的等腰三角形的底边垂直于底边所对应的弧。

这个推论可以通过垂径定理证明。因为等腰三角形的底边的中垂线经过圆心，所以它垂直于底边。同时，我们可以证明底边所对应的弧与底边所对应的圆心角相等，因此底边垂直于底边所对应的弧。

8. 垂直于同一直径的两条弦所成的角相等。

这个推论可以通过垂径定理证明。因为两条垂直于同一直径的弦所对应的弧都是半圆，因此它们的度数都是90度，即两条弦所成的角相等。

9. 相交于圆内的两条弦所成的角等于这两条弦所对应弧的角平分线所对应的角。

这个推论可以通过垂径定理证明。因为相交于圆内的两条弦所对应的两个角都是所对应弧的角平分线所对应的角，因此这两条弦所成的角也等于这个角。

10. 以圆心为顶点的角所对应的弧是所对角的弧的两倍。

这个推论可以通过垂径定理证明。因为以圆心为顶点的角所对应的弧都是直径，垂直于直径的弦的乘积相等，所以这个角所对应弧的长度就是圆的直径。而所对角的弧的长度就是圆的周长减去这个弧的长度，因此以圆心为顶点的角所对应的弧是所对角的弧的两倍。