n倍2的n次方求和
来源 :华课网校 2024-09-20 10:54:05
中n倍2的n次方求和,是指对于一个正整数n,求出1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + n*2^n的结果。这个问题在数学上被称为级数求和,属于数学分析中的一部分。
首先,我们可以分解每一项,将其写成2的幂次方的形式,即:
1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + n*2^n = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n*2 + 2^3 + ... + 2^n*3 + ... + 2^n-1*n
接着,我们可以观察到每一项都是2的幂次方的和。因此,我们可以使用指数函数的性质来求解。指数函数的性质表明,如果a和b是正整数,那么a^b * a^c = a^(b+c)。我们可以利用这个性质,将2的幂次方相加,得到:
2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 2
因此,我们可以将原式子简化为:
1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + n*2^n = 2^(n+1) - 2 + 2^2(1 + 2 + 3 + ... + n-1)
接下来,我们需要求解1+2+3+...+n-1的和,这个问题在数学上被称为等差数列求和。等差数列是指相邻两项之间的差值相等的数列。我们可以将其写成:
1+2+3+...+n-1 = (n-1)*n/2
因此,我们可以将原式子进一步简化为:
1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + n*2^n = 2^(n+1) - 2 + 2^2*(n-1)*n/2
化简后得到:
1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... + n*2^n = (n+1)*2^(n+1) - 2*(n+1)
这就是n倍2的n次方求和的通式。我们可以将任何正整数代入其中,求出其结果。
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