1cosx的等价无穷小替换
来源 :华课网校 2024-08-02 05:04:12
中我们知道,在微积分中,等价无穷小替换是常常使用的一种技巧。那么,当我们遇到函数 $f(x)=1-\cos x$ 的极限问题时,我们该如何利用等价无穷小替换来简化计算呢?
首先,我们可以利用三角函数的公式将 $f(x)$ 改写为 $f(x)=2\sin^2\dfrac$。然后,我们考虑当 $x$ 趋近于 $0$ 时,$\sin\dfrac$ 的值趋近于 $0$,因此,$f(x)$ 的值也趋近于 $0$。
接着,我们可以将 $\sin\dfrac$ 表示成 $\dfrac$ 的等价无穷小形式,即 $\sin\dfrac\sim\dfrac$。这样,我们就可以将 $f(x)$ 表示成 $\dfrac\cdot\dfrac\cdot2\sin^2\dfrac$ 的形式。
由于 $\dfrac\cdot\dfrac$ 是一个常数,而 $\sin\dfrac$ 的等价无穷小形式为 $\dfrac$,因此,$f(x)$ 可以等价地表示成 $\dfrac$ 的无穷小量。
综上所述,当 $x$ 趋近于 $0$ 时,函数 $f(x)=1-\cos x$ 可以用等价无穷小替换表示为 $\dfrac$。这个结论可以在微积分的计算中起到很大的作用,使得我们能够更加方便地进行计算和推导。
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